среда, 31 октября 2012 г.

де Карт

Декартову систему координат изучают в 7 классе. А в англоязычной математике её называют картезианской (Cartesian).

Просто свои научные труды Рене Декарт издавал под латинизированным вариантом имени: Renatus Cartesius. Где-то мне попадалось и написание де Карт (как в заголовке поста), но даже во французской википедии написание фамилии только слитное: Descartes. Если кто-то из читателей сможет пролить свет на этот вопрос, буду благодарен.

Декарт участвовал в осаде Ля-Рошели и вполне мог пересекаться с прототипами д'Артаньяна и трёх мушкетёров.

Предложенная им система координат помогла несколько сократить число дуэлей в Париже. Дело в том, что в театре из-за мест часто возникали ссоры, превращавшиеся в кровопролитие. А введение системы "ряд-место" и присвоение каждому билету отдельных координат помогло уменьшить число недоразумений.

Родной город Декарта, Лаэ, был в 1802 году переименован в Лаэ-Декарт, а в 1967 - в Декарт.

вторник, 30 октября 2012 г.

Коварный дискриминант

В интересном образовательном блоге "Привычка не думать" я прочёл одну поучительную историю. Молодой учитель математики решил применить новый подход при изучении темы "Квадратные уравнения". Он на первом же уроке дал детям формулу дискриминанта и метод нахождения корней, не размениваясь на преварительные темы.

Дети выходили к доске, поглядывая на записанную рядом общую формулу решения уравнения ax2 + bx + c = 0, находили дискриминант, и щёлкали примеры как орешки. Казалось бы - прорыв в педагогике!

 Но старший коллега предложил на следующем занятии проверить закрепление навыков  и дать несложную контрольную. В ней были примеры наподобие:
4x - 4x2 - 1 = 0,
2 + 7x + 5 = 0,
x2 + 3x2 + 5x2 = 0,
3x + 5 - 2x -7 = 0

Как видите, часть уравнений была вовсе линейными, а другая требовала несложных преобразований. Но ко всем этим примерам дети исправно применяли вызубренную, но не осмысленную формулу дискриминанта. В последнем случае на четвёртый коэффициент, не помещавшееся в формулу, просто не обращали внимания.

Вот, что бывает, когда делается упор на обучение без понимания.

А тут я когда-то писал, откуда вообще взялся этот дискриминант.

понедельник, 29 октября 2012 г.

Факторион

Факторион - это число, равное сумме факториалов своих цифр. Об одном факторионе я писал в одном из первых постов блога. Кстати, если вы читаете блог с недавнего времени, рекомендую просмотреть архивные посты 2010 года.

Итак, в десятичной системе счисления существует 4 факториона.
1! = 1
2! = 2
1! + 4! + 5! = 145
4! + 0! + 5! + 8! + 5! = 40585

И для операции субфакториала существует аналогичное число:

148349 = !1 + !4 + !8 + !3 + !4 + !9
его нашёл в 1979 году J. S. Madachy

воскресенье, 28 октября 2012 г.

Субфакториал

Факториал числа n выражает количество способов расставить n разных предметов в ряд. Если же требуется расставить эти же n предметов в ряд, но так, чтобы никакой из предметов не стоял бы на своём месте, количество расстановок подсчитывается с помощью субфакториала.

Поясним на примерах. Два предмета можно расставить единственным способом так, чтобы первый предмет стоял не на первом месте, а второй - не на втором. Это будет расстановка (2, 1).

Для трёх предметов будет 2 способа: (2, 3, 1) и (3, 1, 2)

Для четырёх предметов уже выходит целых 9 способов: (2, 1, 4, 3), (2, 3, 4, 1), (2, 4, 1, 3), (3, 1, 4, 2), (3, 4, 1, 2), (3, 4, 2, 1), (4, 1, 2, 3), (4, 3, 1, 2), (4, 3, 2, 1).

Обозначается субфакториал восклицательным знаком перед числом.
!4 = 9.

Вычисляется он по формуле:
формула субфакториала  

суббота, 27 октября 2012 г.

Факториал дробных чисел


Вычислим факториалы нескольких натуральных чисел и отметим точки (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24) и т.д.на прямоугольной системе координат.


Что если попробовать плавной линией соединить эти точки и найти функцию, график которой имел бы такой вид? Тогда можно было бы вычислять факториал от любых чисел, не только от натуральных.
Об этом математики задумались в начале XVIII века. Если такая функция f(x) существует, она должна удовлетворять условию f(x) = x f(x-1), т.е. рекурсивному определению факториала. В 1729 году Леонард Эйлер нашёл способ получить факториал в виде бесконечного произведения, в которое в качестве аргумента можно было подставлять и дробные числа.

гамма-функция, факториал дробного числа

Вот как будет работать эта формула для n = 4, например:

гамма-функция, факториал дробного числа

Сходится произведение довольно медленно, я проверил в Экселе. Для того, чтобы произведение превысило 23, нужно взять 139 множителей, а чтобы добраться до 23,5, множителей нужно уже 283. На 1435-м шагу произведение доходит до 23,4, ну а в бесконечности будет равно 24

Я выложил лист для вычисления факториала в гугл доки. Меняете n и смотрите, к чему будут стремиться частичные произведения.

Чуть позже Эйлер выразил факториал в виде несобственного интеграла:
гамма-функция, факториал дробного числа

Применим к нему метод интегрирования частями, взяв u = (-ln x)n, dv = dx:

гамма-функция, факториал дробного числа

Требуемое свойство выполняется.

Заменой t = −ln x этот интеграл принимает используемый в настоящее время вид и известен как гамма-функция.

гамма-функция, факториал дробного числа

Аргументами её могут быть не только дробные или даже отрицательные числа, но и комплексные.


гамма-функция, факториал дробного числа



гамма-функция, факториал дробного числа

Для натуральных аргументов Г(n) = (n-1)!

Шотландский математик Джеймс Стирлинг был современником Эйлера и вывел формулу, позволяющую приближённо вычислять факториал для больших чисел.

А вот как я использовал факториал на математических часах.

пятница, 26 октября 2012 г.

Факториал нуля

Как легко догалались читатели, в софизме-сенсации восклицательный знак является не знаком препинания, а символом факториала.

Для натурального числа n его факториал - это произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Например, 5! = 1*2*3*4*5 = 120.

Факториал часто используется в комбинаторике. Если у нас есть 5 разных предметов, то расставить их в ряд можно ровно 5! способами.

Действительно, на первое место можно поставить любой предмет из пяти, на следующее - любой из оставшихся четырёх, далее - один из трёх, на четвёртое место - один из двух, и на пятой позиции окажется единственый оставшийся предмет.

Всего вариантов расстановки будет 5*4*3*2*1 = 5!

А сколькими способами можно расставить в ряд 0 предметов? Ровно одним - когда мы получаем пустой ряд. Вот поэтому принято, что 0! = 1.

четверг, 25 октября 2012 г.

Простые квадраты

Мой хороший друг Наталия Макарова участвует в новом программистско-математическом конкурсе и приглашает присоединиться всех желающих.

Суть задачи в следующем. Рассмотрим квадрат NxN, заполненный натуральными числами от 1 до N2. Подсчитаем суммы чисел в N строках, N столбцах, N ломанных диагоналях, наклонённых вправо и N ломанных диагоналях с наклоном влево.

Вот как выглядят ломанные диагонали:

Необходимо расставить числа в квадрате так, чтобы из этих 4N сумм ровно 2N оказались простыми числами. И при этом сумма всех простых сумм оказалась бы или наибольшей или наименьшей возможной.

Возьмём для примера вот такую нумерацию квадрата 3 на 3:
Как видим, среди двенадцати сумм простыми являются ровно 6: 17, 13, 17, 19, 7, 19. Сумма этух простых сумм равна 17 + 13 + 17 + 19 + 7 + 19 = 92

Сможет ли кто-то переставить числа в ячейках так, чтобыпростых сумм по-прежнему оставалось шесть, а их сумма увеличилась бы или уменьшилась?

Поправка:
Наталия уточнила, что количество простых сумм может и превосходитьл 2N, а вот различных простых среди них должно строго равняться 2N. Так что мой вариант нумерации квадрата в конкурсе не прошёл бы. Тем не менее, вопрос остаётся открытым - кто сможет назнумеровать квадрат 3х3 числами от 1 до 9 так, чтобы среди 4N сумм по вертикалям, горизонталям и ломанных диагоналям нашлось ровно 2N разных простых чисел?

Обсуждение конкурса идёт на русском математическом форуме.

Официальный сайт конкурса.

среда, 24 октября 2012 г.

Игра в кости

В книге Терри Пратчетта "Цвет волшебства" боги Плоского мира играют в кости:

Несмотря на то, что игровой стаканчик едва шевельнулся, звук загремевших игральных костей разнесся по всему залу. Потом богиня вытряхнула кубики на стол, и они, подпрыгивая, покатились по поверхности.

Шестерка. Тройка. Пятерка.

Однако с пятеркой происходило что-то странное. Кубик, который подтолкнуло случайное столкновение сразу нескольких миллиардов молекул, качнулся на один из углов, медленно перевернулся и… сверху оказалась семерка.

Слепой Ио поднял кубик и сосчитал грани.
– Послушайте, – устало сказал он. – Давайте играть честно.

вторник, 23 октября 2012 г.

Переставляем цифры и складываем

Возьмём некоторое натуральное число. Переставим как-нибудь его цифры и прибавим новое число к исходному. Какой минимальный результат может получиться, если сделать несколько таких шагов?

Например, если начать с единицы, то наименьшим числом, которое можно получить за 10 шагов, будет число 466.



Всё вполне интуитивно: переставляем цифры в восходящем порядке, чтобы каждое сложение  как можно меньше увеличивало результат. Однако если найти наименьшее число, которое можно получить за 11 шагов, им окажется не 932 = 466 + 466, а 896, находящееся в совершенно иной ветке:


Как видите, во второй ветви четырежды цифры сортировались не в строго возрастающем порядке, что позволило получить два числа с нулями. Эти нули, будучи выведенными вперёд в слагаемых, помогли сократить конечный результат.

А теперь вопрос. Какое наибольшее число шагов можно успеть сделать, пока число не станет пятизначным?

понедельник, 22 октября 2012 г.

А теперь правда 1 = 0!

Разумеется, равенство 0 = 1 неправильно. Но, оказывается, с математической точки зрения абсолютно правильной является запись 1 = 0!

А как думаете, почему?

воскресенье, 21 октября 2012 г.

Раз, два, три...

Посчитаем до семи: "раз, два, три, четыре, пять, шесть, семь". Оказывается, мы использовали столько букв, чему равна сумма чисел от 1 до 7, т.е. 28.

суббота, 20 октября 2012 г.

У кубика нет памяти

Факт, о котором забывают азартные игроки, ловя призрачную удачу за хвост - у механических генераторов случайных чисел (монета, кубик, волчок, лототрон, рулетка) нет памяти. Результаты, которые выдавались при предыдущих испытаниях, никак не влияют на исход следующего опыта. Разумеется, если само устройство "честное" и нет никаких утяжелений и перекосов.

Поэтому, если, например, пять предыдущих бросков кубика были 1, 5, 3, 4, 2, то нельзя надеяться, что шестой бросок даст шестёрку. Любая из последовательностей:
1, 5, 3, 4, 2, 1
1, 5, 3, 4, 2, 2
1, 5, 3, 4, 2, 3
1, 5, 3, 4, 2, 4
1, 5, 3, 4, 2, 5
1, 5, 3, 4, 2, 6
равновероятна.

В общем случае, если вероятность события равна вероятность получить результат, то после n бросков оно не наступит с вероятностью вероятность получить результат . Соответственно, шансы положительного исхода серии из n опытов составят вероятность получить результат

С ростом n эта величина стремится к вероятность получить результат

Причём уже для кубика вероятность вероятность получить результат мало отличается от этой.

Чтобы получить исход с вероятностью более 99% надо, чтобы вероятность отрицательного исхода уменьшилась до 1%.

Решим неравенство
неравенство
неравенство
неравенство

Значит, чтобы получить положительный исход с вероятностью 99% нужно провести 4,6n опытов!

Поэтому в ситуации с зарождением жизни для верности пробовать надо было не 200 000 000, а почти миллиард раз.

Но порой в азартных играх случаются почти невероятные события! Вот как однажды сыграли в кости шведский и норвежский короли

пятница, 19 октября 2012 г.

Сколько нужно попыток

В одной замечательной сказке Бормора о демиургах Шамбамбукли пытается создать жизнь по науке, из первичного бульона. Его друг Мазукта замечает, что шанс успеха эксперимента одна двухсотмиллионная, поэтому для получения результата нужно повторить всё двести миллионов раз.

Так рассуждаем часто и мы (например, если вероятность выпадения единицы на кубике одна шестая, то через шесть бросков она наверняка выпадет). На самом деле бросков понадобится намного больше, и сейчас я расскажу, почему.

Рассмотрим простейший случай - бросок монеты. Орёл в среднем выпадает при половине бросков. Но можем ли мы наверняка утверждать, что среди двух бросков наверняка будет орёл?

Конечно, нет. Два броска могут дать четыре разных исхода: ОО, ОР, РО, РР (два орла, орёл-решка, решка-орёл и решка-решка). Итого вероятность того, что орёл ни разу не выпадет при двух бросках равна 25%..

С вероятностью 25% стоит считаться. Сколько же бросков монеты следует сделать, чтобы вероятность абсолютного невыпадения орла сократилась хотя бы до пяти процентов?

Каждый следующий бросок может дать орёл с вероятностью 50%. Значит, шансы не получить ни одного орла при трёх бросках равны 12,5%, при четырёх - 6,25% и при пяти - 3,125%.

Таким образом, если бросить монету пять раз, орёл выпадет с вероятностью почти 97%. Чтобы эта вероятность превысила 99%, следует сделать ещё два броска. Действительно, ведь вероятность того, что все семь бросков монеты дадут в результате решки, равна вероятность меньше процента

Итак, чтобы почти наверняка (с вероятностью более 99%) получить орёл, монетку нужно бросить целых 7 раз!

Кстати, вот видео, как парень выбрасывает 10 орлов подряд (и разоблачение этого чисто математического фокуса).

четверг, 18 октября 2012 г.

Все цифры

Интересный пример на сложение, в котором используются по разу все десять цифр, нашёл на школьной математической олимпиаде ученик 6 класса Дмитрий Старченко

5 + 87 + 934 = 1026

среда, 17 октября 2012 г.

89

Если начать процесс "переверни и сложи" с числа 89, то палиндром получится через 24 шага! Это рекорд для чисел, не превосходящих 10 000.

В результате получим палиндром 8813200023188.

Кстати, сам процесс складывания числа с самим собой, но записанным в обратном порядке, в англоязычной литературе часто называется Алгоритмом-196, по числу, с которым связана до сих пор нерешённая задача. Числа, которые, как и 196, не дают палиндром после некоторого числа шагов, называются числами Лишрел.

Реализация алгоритма-196 - очень хороший практикум для изучающих программирование.

вторник, 16 октября 2012 г.

И снова 0 = 1

Интересный способ доказать, что 1 = 2 использует корень из минус единицы.

Начнём с очевидного:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Извлечём корень:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Превратим корень из частного в частное корней:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Значит:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Разделим обе части на 2:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

Прибавим к обеим частям по софизм 1 = 2 через комплексные числа, получим:
софизм 1 = 2 через комплексные числа

умножим обе части на i, раскроем скобки и учтём, что i2 = -1:
  софизм 1 = 2 через комплексные числа

софизм 1 = 2 через комплексные числа

софизм 1 = 2 через комплексные числа

1 = 2

0 = 1

понедельник, 15 октября 2012 г.

Ряд Фарея

Если записать в порядке возрастания все дроби, которые получились при приближении числа е методом медиант, получим последовательность:

ряд Фарея


Каждая дробь в ней равна медианте соседей. И для любых двух соседних дробей ряд Фарея, произведения ad и bc отличаются на 1.

 Эта последовательность называется рядом Фарея.

воскресенье, 14 октября 2012 г.

Приближение числа обыкновенной дробью

Используя свойство медианты, можно находить рациональные приближения чисел. Покажем это на примере числа е .

Число е находится между двумя целыми числами:
2 < e < 3

Запишем границы в виде дробей:
приближение числа е через медианты

Теперь сравним е с медиантой границ:
приближение числа е через медианты

Значит, левую границу можно подвинуть:
  приближение числа е через медианты

Следующее сравнение с новой медиантой:
  приближение числа е через медианты

Снова уточняем оценку:
  приближение числа е через медианты

И продолжаем сравнивать число е с медиантой новый границ. В зависимости от результат сравнения будем пододвигать левую или правую границы:

 приближение числа е через медианты
приближение числа е через медианты
приближение числа е через медианты
Дальше буду писать только по одной границе для компактности:
 приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

приближение числа е через медианты

Последнее приближение отличается от е всего на две стотысячных.

Взглянем на сам процесс приближения числа е через медианты внимательнее. Подсчитаем, сколько шагов проходило до того, как новая медианта оказывалась с другой стороны от числа. Получим: 1 дробь справа (e < 3), 2 дроби слева, 1 дробь справа, 1 дробь - слева, 4 дроби справа, 1 дробь - слева, 1 дробь - справа.

Но ведь это звенья разложения дробной части числа е в цепную дробь! [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1 ...]

Вот и ещё один алгоритм разложения числа в цепную дробь, имеющий намного больший запас точности, чем периодическая замена дробной части числа обратной величиной.

суббота, 13 октября 2012 г.

Медианта

Медианта двух дробей - это такая дробь, числитель которой равен сумме их числителей, а знаменатель - сумме из знаменателей. Именно так пытаются складывать дроби дети, когда забывают (или не знают) об общем знаменателе :)

Оказывается, у такого действия много интересных применений. Всё потому, что величина медианты находится между величин образовавших её дробей. То есть:
свойство медианты дробей

Впервые термин этот ввёл в математику А.Я.Хинчин, тот самый, который открыл удивительную закономерность в цепных дробях.

пятница, 12 октября 2012 г.

Загадка числа 196

Возьмём любое натуральное число, например, 12. Переставим в нём цифры в обратном порядке и сложим с исходным.
12 + 21 = 33.

Мы получили число-палиндром, одинаково читающееся как справа налево, так и слева направо.

Иногда, чтобы получить палиндром, требуется больше шагов. Вот, например, для числа 192:
192 + 291 = 483
483 + 384 = 867
867 +768 = 1545
1545 + 5451 = 6996

Сделано 4 шага и палиндром, 6996, получен.

И так происходит почти с любым числом, с какого бы ни начать процесс. А вот с числом 196 что-то странное. Сколько ни продолжали переставлять цифры и складывать - палиндрома не выходило!

196 + 691 = 887
887 + 788 = 1675
1675 + 5761 = 7436
7436 + 6347 = 13783
13783 + 38731 = 52514
52514 + 41525 = 94039
94039 + 93049 = 187088
187088 + 880781 = 1067869
Само число уже превышает миллион, а палиндром не получен!

И до сих пор не найдено ни на каком шагу из числа 196 получится палиндром (а таких шагов разными исследователями с помощью компьютера сделано более семисот миллионов), ни строгого доказательства, что палиндром не будет получен никогда.

четверг, 11 октября 2012 г.

Хорошая онлайн библиотека

Сайт Логика от Змея Горыныча - отличное собрание электронной литературы по занимательной математике, логике, шахматам и другим дисциплинам. Здесь есть работы классиков жанра: Гарднера и Дьюдени, Перельмана и Кордемского, и многих других талантливых авторов.

Книги в основном в форматах djvu и pdf. Регистрация для скачивания не нужна.

среда, 10 октября 2012 г.

Зачем понадобилось число i

Часто, когда рассказывают о комплексных числах, говорят, что они были введены в математику, чтобы любые квадратные уравнения имели решения. Однако на самом деле всё было интереснее.

Ведь и вправду, что с того, что уравнение x+ 1 = 0 не имеет корней в действительных числах?  Не имеет - так не имеет. А вот вводить новый математический объект, число i, являющееся квадратным корнем из минус единицы, понадобилось, чтобы решать кубические уравнения.

Как дискриминант для квадратных, для решения кубических уравнений используется формула Кардано. Для уравнений вида
x+ px + q = 0

Один из корней получается по формуле
формула Кардано

Однако, если рассмотреть уравнение
 x- x = 0, получим:

p = -1, q = 0
корни из отрицательных чисел

Без умения извлекать квадратные корни из отрицательный чисел, на этом этапе решение остановилось бы. Однако, легко видеть (не люблю эту фразу в решениях, но здесь и вправду легко :) ), что исходное уравнение имеет целых 3 действительных корня: -1, 0 и 1.

Если же ввести число число i и доказать, что кубический корень из него равен -i:

кубический корень из числа i

То корень уравнения будет получен:
решение уравнения

Интересно, что два других корня будут получены из той же самой формулы. Просто существуют ещё два разных числа, каждое из которых в кубе давать i. Это
кубический корень из числа i

Можете проверить, что каждое из них, будучи возведённым в куб, даст i. Использовав их на этапе извлечения кубического корня в нашем уравнении, получим оставшиеся два решения: x = 1 и x = -1

Впервые комплексные числа в математику ввёл Рафаэль Бомбелли, он также нашёл алгоритм разложения любого корня в цепную дробь.

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр