пятница, 5 октября 2012 г.

Цепная дробь из корня

Способ разложения числа в цепную дробь с помощью калькулятора имеет ограничения точности. Но, оказывается, для квадратных корней существует способ получения цепной дроби любой длины, требующий лишь ручки и бумаги. Разложим с его помощью корень из 503, который нам был нужен для решения уравнения Пелля.

 Для начала выделим в корне целую часть. Так как 222 = 484, а 232 = 529, то
разложение корня в цепную дробь

 Итак, искомое разложение начнётся как [22, ....]

 Превратим дробную часть в дробь с числителем 1:
  разложение корня в цепную дробь

 Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби, воспользовавшись тем, что:
разложение корня в цепную дробь

 Получим:
разложение корня в цепную дробь

 Теперь выделим у дроби целую часть:
  разложение корня в цепную дробь

 Получили второй член разложения: [22, 2, ....] А в целом цепная дробь сейчас выглядит так:
 разложение корня в цепную дробь

Перевернём теперь дробную часть ещё раз:
разложение корня в цепную дробь

 Внимание! Здесь начинается особая математическая магия! Дело в том, что знаменатель обязательно должен разделиться на целый множитель числителя. Очень рекомендую это доказать - удовольствие гарантировано.

 Действительно, здесь тоже имеем:
  разложение корня в цепную дробь

 И выделение целой части даёт нам новый член разложения: [22, 2, 2, ....]

 Вот новое звено цепной дроби:
  разложение корня в цепную дробь 

Данный процесс можно продолжать. Когда получим на каком-либо шаге дробь, которая получалась ранее (а мы обязательно получим такую, это тоже можно доказать), соответствующий участок разложения зациклится.

 Вот так можно получить цепную дробь любого корня без каких-либо электронных вычислительных средств. А вообще, самый простой способ - это вбить в ВольфрамАльфе: continued fraction, а затем в новом открывшемся окошке написать sqrt(503)

1 комментарий:

  1. Товарищ, я пытаюсь применить этот способ для числа 991, но ничего не выходит. На втором шагу было обещано, что разделится нацело, но у меня получается (30*(√991+30)/(991-900)=(30*(√991+30)/61). Более того, в Вольфраме второй член последовательности это 2, а у меня почему-то 1:
    √991=31+1/1/{√991};
    1/{√991}=(√991+31)/(991-961)=(√991+31)/30=1+(1+{√991})/30.
    Прошу помощи ;) (x^2-991y^2=1 мое уравнение Петля)
    Ах да, ещё такая проблема: в Вольфраме не получается период этой дроби (или я невнимательная).

    ОтветитьУдалить

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор дроби язык степень делимость пи методы история квадрат самоописывающее время задача система счисления узор корень тригонометрия структура е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал комбинаторика последовательность график память логарифм вероятность палиндром пределы конкурс треугольник магический квадрат неизвестное правильно-неправильное действие видео интеграл уравнение комплексные софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы матрица проценты разрезания логика парабола символ статистика 2014 Фибоначчи клеточный автомат кривая производная фокус головоломка действия иллюзия куб шахматы многоугольник новости оказывается оригами подобие построение сложение термин тетраэдр топология