суббота, 8 ноября 2014 г.

Объяснение математических часов: 2 - формула Эйлера

Вместо числа 2 на моих математических часах формула:
$2 = 1-e^{\pi i}$

2. Формула Эйлера
Считающаяся одной из самых красивых формул в математике, формула Эйлера объединяет числа пи, е, единицу, мнимую единицу и ноль и имеет вид:
$e^{\pi i}+1 = 0$

Почему число е, возведённое в мнимую степень, даёт действительное число?

Для начала уточним, что выражение $e^{\pi i}+1 = 0$ на самом деле называется тождеством Эйлера и является частным случаем более общей формулы Эйлера, которая выглядит так:
$e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Доказывается она через разложение показательных и тригонометрических функций в ряды. Тема степенных рядов заслуживает отдельного поста здесь или даже на Эвольвенте, но пока можно просто сказать, что верны равенства:
$e^x = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\dots$,
$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\dots$,
$\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\dots$,
где справа - бесконечные суммы.

Разложив $e^{i x}$ в ряд и использовав свойства мнимой единицы ($i^2 = -1$, $i^3 = -i$, $i^4 = 1$), мы и получим искомое выражение: $e^{i x} = \cos x + i \sin x$

Подставив $x = \pi$, имеем: $e^{\pi i} = -1$




Комментариев нет:

Отправить комментарий

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор дроби язык степень делимость пи методы история квадрат самоописывающее время задача система счисления узор корень тригонометрия структура е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал комбинаторика последовательность график память логарифм вероятность палиндром пределы конкурс треугольник магический квадрат неизвестное правильно-неправильное действие видео интеграл уравнение комплексные софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы матрица проценты разрезания логика парабола символ статистика 2014 Фибоначчи клеточный автомат кривая производная фокус головоломка действия иллюзия куб шахматы многоугольник новости оказывается оригами подобие построение сложение термин тетраэдр топология