четверг, 5 ноября 2015 г.

Сумма восьми квадратов

Существует ровно 2016 способов представить число 5 в виде суммы восьми квадратов целых чисел. Почему так много? Давате подсчитаем.

Для начала, есть основных 2 способа представить число 5 в виде суммы восьми слагаемых, каждое из которых является квадратом (и мы не учитываем перестановку слагаемых).
Это:

5 = 4+1+0+0+0+0+0+0
5=1+1+1+1+1+0+0+0

Теперь учтём перестановку слагаемых. В первом способе место для четвёрки можно выбрать 8-ю способами, и место для единицы - 7-ю способами. Итогог он нам даёт 56 расстановок слагаемых.

Со втором способе места для единиц можно выбрать $C_8^5$ (или, что то же самое, места для нулей можно выбрать $C_8^3$) способами, что составит ещё 56 способов.

Теперь учтём, что 4 может быть квадратом как числа 2, так и числа -2. Аналогично и с единицей: 1=12=(-1)2.

Учёт знака числа, возможимого в квадрат, увеличит число способов для первого представления в 4 раза, а для второго - в 32 раза. Таким образом, итоговый результат равен:
56*4+56*32 = 56*36 = 2016 способов

среда, 4 ноября 2015 г.

2016 - константа магического квадрата

Можно выбрать 64 последовательных простых числа так, чтобы из них можно было построить магический квадрат. Это можно сделать многими способами, а минимальная константа такого квадрата (т.е. сумма чисел в каждой вертикали, горизонтали и диагонали) будет равна 2016.

103
113
131
409
349
421
197
293
389
331
397
97
193
263
179
167
109
433
439
199
127
101
241
367
137
373
353
163
359
211
229
191
311
181
149
419
79
271
223
383
157
269
151
277
401
337
317
107
379
83
307
313
251
173
283
227
431
233
89
139
257
239
347
281

Этот результат получила Наталия Макарова.

понедельник, 2 ноября 2015 г.

Треугольное и шестиугольное число 2016

Число 2016 вляется треугольным и шестиугольным.
2016 монет можно разложить в виде равностороннего треугольника со стороной 63 и в виде шестиугольника со стороной 32.


2016 является также 24-угольным числом, ему соответстсвует 24-угольник со стороной 14.

воскресенье, 1 ноября 2015 г.

Практичное число 2016

За пару месяцев доНового Года начнём собирать интересные свойтсва числа 2016.

Вот все 36 делителей числа 2016:
2016 =
1 x 2016
2 x 1008
3 x 672
4 x 504
6 x 336
7 x 288
8 x 252
9 x 224
12 x 168
14 x 144
16 x 126
18 x 112
21 x 96
24 x 84
28 x 72
32 x 63
36 x 56
42 x 48

Оказывается, любое число, меньшее 2016, может быть представлено в виде суммы некоторых его делителей. Числа с таким свойством называются практичными. Предыдущим практичным номером года был 2010.

Немного подумав, приходим к выводу, что складывая делители практичного числа n можно получить любое число от 1 до 2n-1. А для числа 2016 можно пойти ещё дальше. К примеру:

4032 = 2016+1008+672+336
4033 = 2016+1008+672+336+1
4034 = 2016+1008+672+336+2
4035 = 2016+1008+672+336+3
....
Вопрос нашим читателям: как далеко мы сможем зайти?

Популярные сообщения

Темы

число цифра простые геометрия юмор язык дроби степень делимость пи методы история самоописывающее квадрат система счисления время задача узор корень структура тригонометрия е сайты конструкция формулы игра факториал функции приближение программа фрактал последовательность график комбинаторика память вероятность пределы конкурс логарифм треугольник неизвестное интеграл магический квадрат палиндром уравнение видео комплексные правильно-неправильное действие софизм заблуждения процесс ряды цитаты книги окружность прогрессия среднее стереометрия число фи выражения графы проценты логика парабола разрезания символ 2014 Фибоначчи клеточный автомат матрица производная статистика фокус головоломка кривая куб шахматы действия иллюзия новости оказывается оригами построение сложение термин тетраэдр